Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为BA延长线上一点，∠ABC的平分线BE和∠CAM的平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③DG＝AP+GH；④BD﹣AH＝AB．其中正确的是_____（填序号）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①正确．证明∠APB＝∠ACB即可．

②正确．证明△PBA≌△PBF（ASA）即可．

③错误．证明DG＝AG，GH＝GF，AF＞AP即可判断．

④正确．根据BD﹣AH＝BD﹣DF＝BF＝AB可得结论．

解：由题意可以假设∠MAP＝∠PAC＝x，∠ABP＝∠PBD＝y，

则有，

可得∠APB＝∠ACB＝45°，故①正确，

∵PF⊥AD，

∴∠APF＝90°，

∴∠APB＝∠FPB＝45°，

∵PB＝PB，∠ABP＝∠PBF，

∴△PBA≌△PBF（ASA），

∴PA＝PF，BA＝BF，故②正确，

∵HP⊥AD，DC⊥AH，

∴AG⊥DH，

∵∠DPF＝∠HCF＝90°，∠DFP＝∠HFC，

∴∠PDF＝∠PHA，

∵∠DPF＝∠APH＝90°，PF＝PA，

∴△DPF≌△HPA（AAS），

∴DF＝AH，PD＝PH，

∴∠PDH＝∠AHP＝45°，

∴∠ADG＝∠DAG＝45°，

∴DG＝AG，

∵∠GHF＝∠GFH＝45°，

∴GH＝FG，

∵DG＝FG+AH＝GH+AF，AF＞PA，

∴DG≠GH+PA，故③错误，

∵BD﹣AH＝BD﹣DF＝BF，BF＝AB，

∴BD﹣AH＝AB，故④正确．

故答案为：①②④．