Question

【题目】对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．
（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：若“矩数”m=k（k+1）是3的倍数，则k（k+1）是3的倍数，k是正整数，

当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；

当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，

综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数

（2）解：根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，

即t2+t﹣s2﹣s=30，

∴（t﹣s）（t+s+1）=30，

∵t，s是正整数，t＞s，

∴t﹣s，t+s+1是正整数，且t+s+1＞t﹣s，

∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，

∴ 或 或 或 ，

解得： 或 或 或 ，

∵t，s是正整数，

∴符合条件的是： 或 或 ，

∴ 或 = 或 = ，

∵ ，

∴ 的最大值是

【解析】（1）连续的两个整数必是一奇数，一偶数，可分类证明；（2）可把新定义的规则转化为已知的规则，用已知代数式表示新运算法则，根据30的因数分解规则，求出最大值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解因式分解的应用的相关知识，掌握因式分解是整式乘法的逆向变形，可以应用与数字计算、求值、整除性问题、判断三角形的形状、解方程．