Question

19．如图，在矩形ABCD中．AB=3cm．Bc=4cm．动点P以2cm/秒的速度从点C出发，沿CA向点A移动．同时动点Q以1cm/秒的速度从点A出发沿AB向点B移动．设P、Q两点移动t秒．
（1）△APQ与△ABC相似时t的值为$\frac{25}{13}$或$\frac{15}{11}$；
（2）求四边形BCPQ的面积s（cm²）与时间t（秒）的关系式：
（3）求△APQ为等腰三角形时t的值；
（4）以P为圆心PC为半径的圆与以Q为圆心．QA为半径的圆相切时．直接写出t的值1或$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先依据勾股定理求得AC=5cm，由题意可知AQ=t，PC=2t，则AP=5-2t，接下来，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可；
（2）如图1：过点作PE⊥AB，垂足为E，用含t的式子表示出PE的长，然后依据四边形QBCP的面积=△ABC的面积-△AQP的面积可得到函数关系式；
（3）由题意可知AQ=t，PA=5-2t，①当AQ=AP时，则t=5-2t，故此可求得t的值；当AP=PQ时，过点P作PE⊥AB，垂足为E，由等腰三角形的性质可知AE=$\frac{1}{2}$t，然后依据$\frac{AE}{AP}=\frac{3}{5}$可得到关于t的方程；当AQ=QP时，过点Q作QE⊥AP．由等腰三角形的性质可知AE=2.5-t，依据$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{3}{5}$，可得到关于t的方程；（4）当⊙A与⊙P外切时，AE=AQ=t，EC=2PC=4t，然后依据AE+EC=5列方程求解即可；当⊙A与⊙P内切时，AE=AQ=t，EC=2PC=4t，然后由EC-AE=5列方程求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，依据勾股定理可知：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5cm．
由题意可知AQ=t，PC=2t，则AP=5-2t．
当△APQ∽△ABC时，$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{t}{5}=\frac{5-2t}{3}$，解得t=$\frac{25}{13}$．
当△APQ∽△ACB时，$\frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AB}$即，$\frac{5-2t}{t}=\frac{5}{3}$，解得：t=$\frac{15}{11}$．
故答案为：$\frac{25}{13}$或$\frac{15}{11}$．

（2）如图1：过点作PE⊥AB，垂足为E．

∵sin∠EAP=$\frac{EP}{AP}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∴PE=$\frac{4}{5}$AP=$\frac{4}{5}$（5-2t）=4-$\frac{8}{5}$t．
∴四边形QBCP的面积=△ABC的面积-△AQP的面积=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}×$t×（4-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{4}{5}$t²-2t+6，
即S=$\frac{4}{5}$t²-2t+6．

（3）当AQ=AP时，则t=5-2t，解得t=$\frac{5}{3}$；
当AP=PQ时，如图2所示：过点P作PE⊥AB，垂足为E．

∵PA=PQ，PE⊥AB，
∴AE=QE=$\frac{1}{2}$t．
∵$\frac{AE}{AP}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}t}{5-2t}$=$\frac{3}{5}$，解得：t=$\frac{30}{17}$．
当AQ=QP时，如图3所示：过点Q作QE⊥AP．

∵AQ=QP，QE⊥AP，
∴AE=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（5-2t）=2.5-t．
∵$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{2.5-t}{t}=\frac{3}{5}$，解得t=$\frac{25}{16}$．
综上所述，当t为$\frac{5}{3}$或$\frac{30}{17}$或$\frac{25}{16}$时，△APQ为等腰三角形．

（4）如图4所示：当⊙A与⊙P外切时，AE=AQ=t，EC=2PC=4t．

∵AE+EC=5，
∴t+4t=5，解得t=1．
如图5所示：当⊙A与⊙P内切时，AE=AQ=t，EC=2PC=4t．

∵AC=EC-AE，
∴4t-t=5，解得t=$\frac{5}{3}$．
综上所述，当t=1或t=$\frac{5}{3}$时，两圆相切．
故答案为：1或$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质、圆与圆的位置关系，分类讨论是解答本题的关键．