Question

2．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若$\frac{AB}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$=2，求$\frac{AN}{ND}$的值；
（3）若$\frac{AB}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$=n，当n为何值时，MN∥BE？

Answer 1

分析 （1）如图1，易证△BMF≌△ECF，则有BM=EC，然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC；
（2）如图2，设MB=a，易证△ECF∽△BMF，根据相似三角形的性质可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到AN=$\frac{3}{2}$a，从而可得ND=AD-AN=$\frac{1}{2}$a，就可求出$\frac{AN}{ND}$的值；
（3）如图3，设MB=a，依据相似三角形的性质可得BC=2a，CE=na．由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值．

解答 解：（1）当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．
在△BMF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBF=∠CEF}\\{∠BMF=∠ECF}\\{BF=EF}\end{array}\right.$，
∴△BMF≌△ECF，
∴BM=EC．
∵E为CD的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$DC，
∴BM=EC=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AM=BM=EC；

（2）如图2所示：设MB=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，
∴△ECF∽△BMF，
∴$\frac{EC}{BM}$=$\frac{EF}{BF}$=2，
∴EC=2a，
∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB-MB=3a．
∵$\frac{AB}{BC}$=2，
∴BC=AD=2a．
∵MN⊥MC，
∴∠CMN=90°，
∴∠AMN+∠BMC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ANM+∠AMN=90°，
∴∠BMC=∠ANM，
∴△AMN∽△BCM，
∴$\frac{AN}{BM}$=$\frac{AM}{BC}$，
∴$\frac{AN}{a}$=$\frac{3a}{2a}$，
∴AN=$\frac{3}{2}$a，ND=AD-AN=2a-$\frac{3}{2}$a=$\frac{1}{2}$a，
∴$\frac{AN}{ND}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{1}{2}a}$=3；

（3）当$\frac{AB}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$=n时，如图3：设MB=a．
∵△MFB∽△CFE，
∴$\frac{MB}{EC}=\frac{BF}{EF}$=$\frac{1}{n}$，即$\frac{a}{EC}=\frac{1}{n}$，解得EC=an．
∴AB=2an．
又∵$\frac{AB}{BC}$=n，
∴$\frac{2an}{BC}=n$，
∴BC=2a．
∵MN∥BE，MN⊥MC，
∴∠EFC=∠HMC=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°．
∵∠MBC=90°，
∴∠BMC+∠FCB=90°，
∴∠BMC=∠FBC．
∵∠MBC=∠BCE=90°，
∴△MBC∽△BCE，
∴$\frac{MB}{BC}$=$\frac{BC}{CE}$，
∴$\frac{a}{2a}$=$\frac{2a}{na}$，
∴n=4．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、同角的余角相等、三角形外角的性质等知识，利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解决本题的关键．