Question

14．如图，△ABC中，∠C=60°，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E．若AC=4，BC=13，则EC=10.5．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，证明△ABC≌△DAG，则∠HGC=∠C=60°，DG=AC=4，再证明△GHC是等边三角形，计算DH=13，BH=4；在Rt△DHE中，∠HDE=30°，根据直角三角形30°角的性质求EH=$\frac{1}{2}$DH=6.5，从而得EC的长．

解答 解：延长CA至G，使AG=BC=13，连接GD并延长，交CB的延长线于H，
∵△ADB是等边三角形，
∴AD=AB，∠DAB=60°，
∴∠DAG+∠BAC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
∴∠DAG=∠ABC，
在△ABC和△DAG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AG}\\{∠ABC=∠DAG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DAG（SAS），
∴∠HGC=∠C=60°，DG=AC=4，
∴△GHC是等边三角形，
∴GH=GC=HC=13+4=17，
∠DHC=60°，
∴DH=13，BH=4，
∵DE⊥BC，
∴∠DEH=90°，
在Rt△DHE中，∠HDE=30°，
∴EH=$\frac{1}{2}$DH=6.5，
∴BE=EH-BH=6.5-4=2.5，
∴EC=13-2.5=10.5．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、直角三角形30°角的性质、等边三角形的性质和判定，作辅助线构建两三角形全等是本题的关键，证明△GHC是等边三角形是突破口．