Question

20．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE面积最大时P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当△OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B点和C点坐标分别代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）易知D（-2，0），接着利用待定系数求出直线AC的解析式为y=-x-4，再根据直线PE与直线BC的解析式求得点E的坐标为（1，-2）．求M点分类讨论：①当MD=OD时，求得M的坐标为（-2，-2）；所以ME∥x轴，则∠PEM=45°，由翻折得∠NEM=90°，所以NE∥y轴，可得N（1，1）；②当DM=OM时，求得M的坐标为（-1，-3），又可证得△MPE≌△BPE，所以N与B重合，N点坐标为（2，0）；③OD=OM时，等腰△OMD不存在．

解答 解：（1）根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{2+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
所以该抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+x-4；

（2）令y=0，即$\frac{1}{2}$x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=12
设P点坐标为（x，0），则PB=2-x．
∵PE∥BC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△PBE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PB}{AB}$）²，即$\frac{{S}_{△PBE}}{12}$=（$\frac{2-x}{6}$）²，
化简得：S_△PBE=$\frac{1}{3}$（2-x）²．
S_△PCE=S_△PCB-S_△PBE=$\frac{1}{2}$PB•OC-S_△PBE=$\frac{1}{2}$×（2-x）×4-$\frac{1}{3}$（2-x）²
=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+3
∴当x=-1时，S_△PCE的最大值为3．

（3）由（2）已知A（-4，0），
∵点D为0A中点，
∴D（-2，0），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（-4，0）、C（0，-4）分别代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-4．
∵PE∥AC，所以可设直线PE的解析式为y=-x+a，
将P（-1，0）代入y=-x-a得a=-1，
所以直线PE的解析式为y=-x-1．
设直线BC的解析式为y=kx+a′，
将B（2，0）、C（0，-4）代入y=kx+a′得$\left\{\begin{array}{l}{2k+a′=0}\\{a′=-4}\end{array}\right.$，
解得k=2，a′=-4．
所以直线BC的解析式为y=2x-4．
由2x-4=-x-1得x=1，将x=1代入y=2x-4得y=-2，
∴E点坐标为（1，-2）．
①当MD=OD时，如图1：
∵AD=MD=AD，OA=OC，∠DAM=∠OAC，
∴△ADM∽△AOC，
∴∠ADM=∠AOC=90°，即DM⊥x轴，
∴M的横坐标为-2，将x=-2代入y=-x-4，得y=-2．
所以此时M的坐标为（-2，-2）；
∵M和E点纵坐标相等，
∴ME∥x轴，
∴∠PEM=45°．
由翻折得∠ENM=2∠PEM=90°，即NE∥y轴，
∴EN=ME=3，
∵E（1，-2），
∴N（1，1）．
②当DM=OM时，过点M作MG⊥x轴交于点，如图2：
易知DG=OG=1，即G点与P点重合，M的横坐标为-1，
将x=-1代入y=-x-4，得y=-3．
∴M（-1，-3）．
∵ME=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（-3+2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，EB=$\sqrt{（1-2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴ME=EB，
∵PB=3，PM=3，即PB=PM，
又∵PE=PE，
∴△BPE≌△MPE，
∴∠BEP=∠MEP，
∴点N与点B重合，
∴N（2，0）；
③当OD=OM时，
设点O到AC的最短距离为h，则OA•OC=h•AC
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴h=$\frac{4×4}{4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵h＞OD，
∴OD≠OM．此时等腰△OMD不存在．
综上所述，N点的坐标分别为（1，1）或（2，0）．

点评 本题属于二次函数的综合应用．考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，图形翻折的性质，相似三角形的判定与性质等知识．具有一定的综合性与难度，解答本题时要注意方程思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用．