Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　 　；

（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）9；（3）不变，

【解析】

（1）如图1中，连接AC，OC，OA．想办法证明OA∥BF即可解决问题；

（2）证明△BCD∽△ECB，推出，求出CE即可解决问题；

（3）如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．证明△ACE∽△ABN，推出可得结论．

（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA，

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠CAO＝60°，

∵，

∴AB⊥OC，

∴∠OAD＝∠OAC＝30°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABC＝∠OAD，

∴OA∥BF，

∵AF⊥BF，

∴OA⊥AF，

∴AF是⊙O的切线；

（2）解：∵，

∴∠CBD＝∠BEC，

∵∠BCD＝∠BCE，

∴△BCD∽△ECB，

∴，

∴，

∴EC＝12，

∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9，

故答案为：9；

（3）解：结论：＝，的值不变．

理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．

∵，

∴OC⊥AB，CB＝CA，

∴BH＝AH＝AB，

∵∠ABC＝30°，

∴BH＝BC，

∴AC＝AB，

∵CE∥AN，

∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，

∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，

∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，

∵∠ACE＝∠ABN，

∴△ACE∽△ABN，

∴＝，

∴＝，

∴的值不变．