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【题目】如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,ECD上一点,且DE1F为射线BC上一动点,过点EEGAF于点P,交直线AB于点G.则下列结论中:①AFEG;②若∠BAF=∠PCF,则PCPE;③当∠CPF45°时,BF1;④PC的最小值为2.其中正确的有(

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

连接AE,过EEHABH,则EHBC,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AFEG,故①正确;根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到PEPC;故②正确;连接EF,推出点EPFC四点共圆,根据圆周角定理得到∠FEC=∠FPC45°,于是得到BFDE1,故③正确;取AE 的中点O,连接POCO,根据直角三角形的性质得到AOPOAE,推出点P在以O为圆心,AE为直径的圆上,当OCP共线时,CP的值最小,根据三角形的三边关系得到PC≥OCOP,根据勾股定理即可得到结论.

连接AE,过EEHABH

EHBC

ABBC

EHAB

EGAF

∴∠BAF+AGP=∠BAF+AFB90°

∴∠EGH=∠AFB

∵∠B=∠EHG90°

∴△HEG≌△ABFAAS),

AFEG,故①正确;

ABCD

∴∠AGE=∠CEG

∵∠BAF+AGP90°,∠PCF+PCE90°

∵∠BAF=∠PCF

∴∠AGE=∠PCE

∴∠PEC=∠PCE

PEPC;故②正确;

连接EF

∵∠EPF=∠FCE90°

∴点EPFC四点共圆,

∴∠FEC=∠FPC45°

ECFC

BFDE1

故③正确;

AE 的中点O,连接POCO

AOPOAE

∵∠APE90°

∴点P在以O为圆心,AE为直径的圆上,

∴当OCP共线时,CP的值最小,

PC≥OCOP

PC的最小值=OCOPOCAE

OCAE

PC的最小值为,故④错误,

故选:C

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A.B.C.D.

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