Question

【题目】如图，已知平面直角坐标系，两点的坐标分别为．

（1）若是轴上的一个动点，则当_______时，的周长最短；

（2）若是轴上的两个动点，则当_______时，四边形的周长最短；

（3）设分别为轴和轴上的动点，请问：是否存在这样的点， 使四边形的周长最短？若存在，请求出，_________，________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在使四边形周长最短的点，．

【解析】

（1）根据题意，设出并找到点B(4，-1)关于x轴的对称点坐标为(4，1)，进而可得直线AB'的解析式，然后得出答案；

（2）过A点作AE⊥x轴于点E且延长AE，取A'E= AE作点F(1，-1)，连接A'F利用两点，间线段最短，可知四边形A BCD的周长最短等于A'F+CD + AB从而确定C点的坐标值；

（3）存在使四边形ABMN的周长最短的点M，N，作A关于y轴的对称点A'，作B关于x轴的对称点是AF连接A'B'与x轴，y轴的交点即为点M，N，所以A'(-2，-3)， B'(4，1)，所以直线A'B'的解析式为： ，从而得到m，n．

(1)设点B(4，-1)关于x轴的对称点坐标为(4，1)，

设直线AB'的解析式为y= kx+ b,

把A(2， -3)，B'(4，1)代入得：

，

解得: ，

所以y=2x- 7，

令y= 0得 ，

即；

（2）过A点作AE⊥x轴于点E且延长AE，取A'E= AE，作点F(1，-1)，

连接A'F，则A'(2，3)，

直线A'F的解析式为

即y=4x- 5，

∵C(a，0)，且点C在直线A'F上，

∴；

(3)存在使四边形ABMN的周长最短的点M，N；

作A关于y轴的对称点A'，作B关于x轴的对称点B'，连接A'B'与x轴，y轴的交点即为点M，N，设直线A'B'的解析式为：；

∴A'(-2，-3)， B'(4，1)，

∴直线A'B'的解析式为： ，

从而得到 ，

∴m= ，n ．