Question

【题目】如图，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=60°，点D在边BC上，过D作DE⊥AB于E．

（1）连接AD，取AD的中点F，连接CF，EF，判断△CEF的形状，并说明理由

（2）若BD=CD．把△BED绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=

Answer 1

【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）60°或135°

【解析】

（1）有直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得FC=FE，再证明∠CFE=60°即可；

（2）根据∠B=60°，∠DEB=90°，可知BD=DE，又BD=CD，则DC=DE，将△BED绕着点D逆时针旋转m°（0<n<180）；分点B落在Rt△ABC的AB和AC上两种情况解答即可．

解：（1）△CEF为等边三角形，理由如下：

∵∠ACD=90°，∠B=60°，

∴∠CAB=30°

∵∠ACD=∠AED=90°，F是AD中点

∴CF=AF=DF=AD, EF= AF=DF=AD

∴CF=EF，∠CAF=∠FCA, ∠FAE=∠AEF,

∴∠CFD=∠CAF+∠FCA=2∠CAF, ∠EFD=∠EAF+∠AEF=2∠EAF,

∵∠CFE=∠CFD+∠EFD=2(∠CAF+∠EAF)=2∠CAB=60°

∴△CEF为等边三角形；

（2）①若点B落在AB边上的点M时，

∵DB=DM, ∠B=60°

∴△DBM为等边三角形，m=∠BDM=60°

②若点B落在AC边上的点N时，

∵DB=DN=CD, ∠C=90°

∴△DBN为等腰直角三角形，

m=∠BDM=135°

综上所述，点B落在三角形的边上时，m=60°或135°．