Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）设OE交⊙O于点F，若DF = 2，BC = ，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）设⊙O的半径为R，则OD=R–DF=R–2，OB=R，利用勾股定理得(R–2)2+(2)2=R2，解得R=4，然后可根据现有条件推出∠BOD=60°，∠BOC=120°，接着计算出，然后利用阴影部分的面积=S四边形OBEC-S扇形OBC进行计算即可．

解：（1）证明：连接OC，如图，

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

即OD垂中平分BC，

∴EC=EB，

在△OCE和△OBE中，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，

∴OB⊥BE，

∴BE与⊙O相切；

（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R–DF=R–2，OB=R，

，

在Rt△OBD中，

∵ OD2+BD2=OB2，

∴(R–2)2+(2)2=R2，

解得R=4，

∴OD=2，OB=4，

∴∠OBD=30°，

∴∠BOD=60°，∠BOC=120°，

∵OB=4，∠BOE=60°，

∴在Rt△OBE中，，

∴S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC

=2××4×-

=．