Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接BE，作CF⊥BE分别交BE于点G，AB于点F．

（1）如图1，若CF恰好平分∠BCA，求证：△CGE≌△CGB；

（2）如图2，若＝，取BC的中点H，连接AH交BE于点P，求证：

①AH＝3AP；

②BH2＝BFBA．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析

【解析】

（1）根据ASA证明三角形全等即可．
（2）①延长BE交AD于T．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
②证明△ABT∽△BCF，推出可得结论．

解：证明：（1）如图1中，

∵CF平分∠ACB，

∴∠ECG＝∠BCG，

∵CF⊥BE，

∴∠CGB＝∠CGE＝90°，

∵CG＝CG，

∴△CGE≌△CGB（ASA）．

（2）①如图2中，延长BE交AD于T．

∵，

∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AT∥BC，

∴，

∵BH＝BC，

∴，

∴，

∴AH＝3AP．

②∵四边形ABCD是矩形，

∴∠CBF＝∠BAT＝90°，

∵CF⊥BE，

∴∠ABT+∠TBC＝90°，∠TBC+∠BCF＝90°，

∴∠ABT＝∠BCF，

∴△ABT∽△BCF，

∴，

∵AT＝BC＝BH，BC＝2BH，

∴BFBA＝ATBC＝BH2BH＝BH2，

∴BH2＝BFBA．