Question

【题目】在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BC上一点，连接DE，点F在边CD上，且AF⊥CD交DE于点G，连接CG．已知∠DEC＝45°，GC⊥BC．

（1）若∠DCG＝30°，CD＝4，求AC的长．

（2）求证：AD＝CG+DG．

Answer 1

【答案】（1）AC＝2；（2）见解析．

【解析】

（1）延长CG交AD于N，连接NF，AC交DE于H，证出∠DGN＝∠CGE＝45°，GC⊥AD，得出∠GFD＝90°＝∠GND，证出N、G、F、D四点共圆，由圆周角定理得出∠NFG＝∠NDG＝45°，由∠ANC＝∠AFC＝90°，得出A、N、F、C四点共圆，由圆周角定理得出∠ACN＝∠NFG＝45°，得出△ACN是等腰直角三角形，即可得出答案；

（2）由（1）得：△ADH、△CGH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

（1）解：延长CG交AD于N，连接NF，AC交DE于H，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵GC⊥BC，∠DEC＝45°，

∴∠DGN＝∠CGE＝45°，GC⊥AD，

∴∠GND＝90°，

∴∠NDG＝45°，

∵AF⊥CD，

∴∠GFD＝90°＝∠GND，

∴N、G、F、D四点共圆，

∴∠NFG＝∠NDG＝45°，

又∵∠ANC＝∠AFC＝90°，

∴A、N、F、C四点共圆，

∴∠ACN＝∠NFG＝45°，

∴△ACN是等腰直角三角形，

∴AC＝CN＝2；

（2）证明：由（1）得：△ADH、△CGH是等腰直角三角形，

∴AD＝HD＝（HG+DG）＝HG+DG＝CG+DG．