Question

5．已知二次函数y₁=x²-2x-3及一次函数y₂=x+m，将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，求新图象与直线y₂=x+m有三个不同公共点时m的值1或$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 分类讨论：①过交点（-1，0），根据待定系数法，可得m的值；②不过点（-1，0），直线与y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）相切，根据判别式，可得答案．

解答 解：由题意得，将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图）：
所以新图象的解析式为y₁=（x-1）²-4（x≤-1或x≥3）y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）．
①因为y₂=x+m的k＞0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过（-1，0）把（-1，0）代入y₂=x+m得-1+m=0  所以m=1，
②y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）与y=x+m相切时，图象有三个交点，
-（x-1）²+4=x+m，
△=1-4（m-3）=0，
解得m=$\frac{13}{4}$．
故答案为：1或$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查了函数图象，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．