Question

已知抛物线y=-x²+4x-3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于C点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）已知点M在线段BC上运动（不与点B，C重合），将OM绕点O逆时针转90°到OM′的位置，当点M′落在抛物线上时，求点M的坐标；
（3）将抛物线向左平移3个单位，得到抛物线y₀，已知点P（2a，y₁）、M（4a，y₂）、N（7a，y₃）都在抛物线y₀上，是否存在含有y₁，y₂，y₃，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当x=0时，求出y的值就可以求出C的坐标，当y=0时求出x得值，求出B的坐标，设BC的解析式为y=kx+b，由待定系数法求出结论即可；
（2）过点M作ME⊥y轴于E，M′F⊥x轴于F，就可以得出△EOM≌△FOM′，设出M、M′的坐标，表示出ME与′F的值，根据全等三角形的性质建立方程求出其值即可；
（3）根据解析式求出平移后的解析式，分别表示出有y₁，y₂，y₃的值，再根据数量关系就可以求出结论．

解答：解：（1）当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）．
当y=0时，-x²+4x-3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
∵点A在点B的左边，
∴A（1，0），B（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得

-3=b 0=3k+b

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为：y=x-3；
（2）过点M作ME⊥y轴于E，M′F⊥x轴于F，
∴∠OEM=∠OFM′=90°．
∵∠MOE+∠MOB=90°，∠M′OF+∠MOB=90°，
∴∠MOE=∠M′OF．
在△EOM和△FOM′中，

∠MOE=∠M′OF ∠OEM=∠OFM′ OM=OM′

，
∴△EOM≌△FOM′（AAS），
∴OE=OF，ME=M′F．
设M（m，m-3），
∴OE=3-m，ME=m，
∴OF=3-m，
∴M′（3-m，-m²+2m），
∴M′F=-m²+2m．
∴m=-m²+2m，
解得：m₁=0舍去，m₂=1，
∴M（1，-2）．
答：M（1，-2）；
（3）∵y=-x²+4x-3，
∴y=-（x-2）²+1，
∴抛物线向左平移3个单位为：y₀=-（x+1）²+1，
∴y₀=-x²-2x．
∵P（2a，y₁）、M（4a，y₂）、N（7a，y₃）都在抛物线y₀上，
∴y₁=-4a²-4a，y₂=-16a²-8a，y₃=-49a²-14a．
∴-42y₁=168a²+168a，35y₂=-560a²-280a，8y₃=-392a²-112a．
∴-42y₁+35y₂=168a²+168a-560a²-280a=-392a²-112a．
∴8y₃=-42y₁+35y₂．

点评：本题考查了二次函数的解析式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，旋转的旋转的运用，全等三角形的判定及性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的性质求解是关键．