Question

如图1，点A，B的坐标分别为A（0，3），B（0，-3），点C（m，0）为x轴正半轴上一点．
（1）求证：AC=BC；
（2）如图①，若m满足（m+5）（m+6）-（m+4）（m+5）=18，过O作OD⊥AC于D点，求OD•AC的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，点P为线段OB的延长线上的一动点，当点P为线段OB的延长线上向下运动时，作PM⊥AC于M点，PN⊥BC于N点，式子AC（PM-PN）的值是否发生改变？若不变，求出其值；若变化，求出其值的变化范围．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）根据勾股定理可以求得AC²=BC²，即可解题；
（2）根据题干中给出等式可以求得m的值，根据三角形面积公式即可求得AC•OD=OA•OC，即可解题；
（3）根据m=4，可以求得AC，BC的解析式，即可求得PM，PN的值，对a分类讨论即可解题．

解答：（1）证明：∵AC²=OC²+AO²，BC²=BO²+OC²，AO=BO=3，
∴AC²=BC²，
∴AC=BC；
（2）解：∵（m+5）（m+6）-（m+4）（m+5）=18，
整理得：2m+10=18，
∴m=4，
∵

1

2

AC•OD=

1

2

OA•OC，
∴AC•OD=OA•OC=12；
（3）解：由（2）知，m=4，
则AC=5，
设AC的方程为y=kx+b，将A，C两点代入得直线AC方程为：3x+4y-12=0，
设BC方程为y=px+q，将B，C代入得BC的方程为-3x+4y+12=0，
设P点（0，a），（a＜0）
则PM=

|4a-12|

5

，
PN=

|4a+12|

5

，
故AC（PM-PN）=12-4a-|4a+12|，
当a＜-3时，原式=-8a，
当-3＜a＜0时，原式=24．

点评：本题考查了勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，考查了点到直线距离的求解，本题中求得直线AC，BC解析式是解题的关键．