Question

【题目】如图，和都是等边三角形，连接AC，DE，CD.

（1）猜想AC与DE的数量关系，并说明理由。

（2）给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形.如图，若，求证：四边形ABCD是勾股四边形。

（3）设，，的面积分别是，若，试探究与之间满足的等量关系。

Answer 1

【答案】(1) AC=DE，理由见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)证明△ABC≌△DBE即可得AC=DE；

(2)先证明△CDE为直角三角形, 得CE+CD=DE,再由CE=CB，DE=AC得CB+CD=AC,从而得出结论;

(3) 分别表示出S,S, S,再结合线段找出它们之间的关系.

(1)解: ∵,

∴△ABC≌△DBE(ASA),

∴AC=DE;

(2)证明: ∵∠DCE=90°,

∴△CDE为直角三角形,

∴CE+CD=DE,

又∵CE=CB,DE=AC,

∴CB+CD=AC,

∴四边形ABCD是勾股四边形;

(3)解:在等边△ABD与等边△BCE中,

S=BD ,S=BC;

在直角三角形DBC中,S=BD·BC,

∵S·S=(BD·BC) =((BD·BC) =S ,

∴.