Question

【题目】如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边CD上的动点P重合（点P不与点C、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上，连结AM、MP、AP，其中，AP与MN相交于点F．⊙O过点M、C、P

（1）若∠AMP＝90°，求证：BM＝CP；

（2）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M，又与AD相切于点H，且AB＝4，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】

(1)由矩形的性质得出∠B=∠C=90°,证出∠BAM=∠CMP,由折叠的性质得出AM=PM,由AAS证明△ABM≌△MPC，即可得出结论；
(2)连接HO并延长交BC于J,根据折叠的性质知：MN垂直平分AP,可得：AM=PM,AM为⊙O的切线,可得：∠AMP=∠CMP+∠AMB=90°,又∠BAM+∠AMB=90°,可得：∠CMP=∠BAM,∠B=∠C=90°,可证：△ABM≌△MCP,MC=AB,BM=CP,由AD为⊙O的切线,可得：OJ⊥AD,故：JH∥CP,△MOJ∽△MPC,设PD的长为x,则PC=ABx,OJ=PC，OH=ABOJ可求出⊙O的半径，在Rt△MCP中，运用勾股定理可将PD的长求出，即可得出CP的长.

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAM+∠AMB＝90°，

∵∠AMP＝90°，

∴∠AMB+∠CMP＝90°，

∴∠BAM＝∠CMP，

由折叠的性质得：MN垂直平分AP，

∴AM＝PM，

在△ABM和△MPC中，，

∴△ABM≌△MPC（AAS），

∴BM＝CP；

（2）解：∵AM是⊙O的切线，

∴∠AMP＝90°，

∴∠CMP+∠AMB＝90°，

∵∠BAM+∠AMB＝90°，

∴∠CMP＝∠BAM，

由折叠的性质得：MN垂直平分AP，

∴MA＝MP，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABM≌△MCP，

∴MC＝AB＝4

设PD＝x，则CP＝4﹣x，

∴BM＝PC＝4﹣x，

连接HO并延长交BC于J，如图2所示：

∵AD是⊙O的切线，

∴∠JHD＝90°，

∴HDCJ为矩形，

∴OJ∥CP，

∴△MOJ∽△MPC，

∴OJ：CP＝MO：MP＝1：2，

∴OJ＝（4﹣x），

OH＝MP＝4﹣OJ＝（4+x），

∵MC2＝MP2﹣CP2，

∴（4+x）2﹣（4﹣x）2＝16，

解得：x＝1，即PD＝1，

∴PC＝3．