【题目】如图,四边形ABCD是正方形,连接AC,将绕点A逆时针旋转α得
,连接CF,O为CF的中点,连接OE,OD.
(1)如图1,当时,请直接写出OE与OD的关系(不用证明).
(2)如图2,当时,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)当时,若
,请直接写出点O经过的路径长.
【答案】(1),
,理由见解析;(2)当
时,(1)中的结论成立,理由见解析;(3)点O经过的路径长为
.
【解析】
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得OD与OE的数量关系;根据旋转的性质和正方形的性质可得AC=AF以及△ACF各内角的度数,进一步即可求出∠COE与∠DOF的度数,进而可得OD与OE的位置关系;
(2)延长EO到点M,使,连接DM、CM、DE,如图2所示,先根据SAS证明
≌
,得
,
,再根据正方形的性质和旋转的性质推得
,进一步在△ACF中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出
,再一次运用SAS推出
≌
,于是
,进一步即可得出OE、OD的位置关系,然后再运用SAS推出
≌
,即可得OD与OE的数量关系;
(3)连接AO,如图3所示,先根据等腰三角形三线合一的性质得出,即可判断点O的运动路径,由
可得点O经过的路径长,进一步即可求得结果.
解:(1),
;理由如下:
由旋转的性质得:,
,
∵四边形ABCD是正方形,∴,
∴,
∴,
∵,O为CF的中点,∴
,
同理:,∴
,
∴,
,
∴,∴
;
(2)当时,(1)中的结论成立,理由如下:
延长EO到点M,使,连接DM、CM、DE,如图2所示:
∵O为CF的中点,∴,
在和
中,
,
∴≌
(SAS),∴
,
.
∵四边形ABCD是正方形,∴,
,
∵绕点A逆时针旋转α得
,
∴,
,
∴,
,
∵,
,
,
∴,
∵,
,∴
,
在中,∵
,
∴,
∵,∴
,∴
,
在和
中,
,
∴≌
(SAS),∴
,
∵,∴
,
在和
中,
,
∴≌
(SAS),∴
.
∴,∴
,
;
(3)连接AO,如图3所示:
∵,
,∴
,∴
,
∴点O在以AC为直径的圆上运动,
∵,∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长,
∵,∴点O经过的路径长为:
.
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【题目】小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论:①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形;③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1<x2,x1+x2>2m,则y1<y2;④当-1<x<2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
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【题目】某超市拟于中秋节前天里销售某品牌月饼,其进价为
元/
.设第
天的销售价格为
(元/
),销售量为
.该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:①当
时,
;当
时,
与
满足一次函数关系,且当
时,
;
时,
.②
与
的关系为
.
(1)当时,
与
的关系式为 ;
(2)为多少时,当天的销售利润
(元)最大?最大利润为多少?
(3)若超市希望第天到第
天的日销售利润
(元)随
的增大而增大,则需要在当天销售价格的基础上涨
元/
,求
的最小值.
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【题目】如图,一路灯距地面6.4米,身高1.6米的小方从距离灯的底部(点O)5米的A处,沿OA所在的直线行走到点C时,人影长度增长3米,
求:(1)小方在A处时的影子AB的长;(2)小方行走的路程AC.
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【题目】如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边CD上的动点P重合(点P不与点C、D重合),MN为折痕,点M、N分别在边BC、AD上,连结AM、MP、AP,其中,AP与MN相交于点F.⊙O过点M、C、P
(1)若∠AMP=90°,求证:BM=CP;
(2)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M,又与AD相切于点H,且AB=4,求CP的长.
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【题目】如图1,点、点
在直线
上,反比例函数
(
)的图象经过点
.
(1)求和
的值;
(2)将线段向右平移
个单位长度(
),得到对应线段
,连接
、
.
①如图2,当时,过
作
轴于点
,交反比例函数图象于点
,求
的值;
②在线段运动过程中,连接
,若
是以
为腰的等腰三形,求所有满足条件的
的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,则DM的长为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如果两个三角形满足下列条件,那么它们一定相似的是( )
A. 有一个角相等的两个等腰三角形
B. 有一个角相等的两个直角三角形
C. 有一个角是的两个等腰三角形
D. 有一组角是对顶角的两个三角形
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