Question

【题目】如图1，抛物线经过点、两点，是其顶点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；

（2）如图2，直线经过点，是抛物线上的一点，设点的横坐标为（），连接并延长，交抛物线于点，交直线l于点，，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），顶点为：；（2）的值为﹣3；（3）存在，点的横坐标为：或．

【解析】

（1）运用待定系数法将、代入中，即可求得和的值和抛物线解析式，再利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点的坐标；

（2）根据抛物线绕点旋转，可求得新抛物线的解析式，再将代入中，即可求得直线解析式，根据对称性可得点坐标，过点作轴交直线于，过作轴交直线于，由，即可得，再证明∽，即可得，建立方程求解即可；

（3）连接，易证是，，可得，在轴下方过点作，在上截取，过点作轴于，连接交抛物线于点，点即为所求的点；通过建立方程组求解即可．

（1）将、代入中，得

解得

∴抛物线解析式为：，

配方，得：，∴顶点为：；

（2）∵抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

∴新抛物线的顶点为：，二次项系数为：

∴新抛物线的解析式为：

将代入中，得，解得，

∴直线解析式为，

∵，

∴直线的解析式为，

由抛物线与抛物线关于原点对称，可得点、V关于原点对称，

∴

如图2，过点作轴交直线于，过作轴交直线于，

则，，

∴，，

∵

∴，

∵轴，轴

∴

∴∽

∴，即

∴

解得：，，

∵

∴的值为：﹣3；

（3）由（2）知：，

∴，，，

如图3，连接，在中，∵，，

∴

∴是直角三角形，，

∴，

∵

∴，

在轴下方过点作，在上截取，

过点作轴于，连接交抛物线于点，点即为所求的点；

∵，

∴

∵

∴

∴，设直线解析式为，

则，解得

∴直线解析式为，

解方程组，得，，

∴点的横坐标为：或．