Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相交于点D，且∠A＝2∠DCB，连接CD．

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若BE＝OE＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）阴影部分的面积=2.

【解析】

（1）连接OD，由OD＝OC，可得∠BCD=∠ODC，∠DOB=∠BCD +∠ODC=2∠BCD，又∠A=2∠BCD，可知∠DOB=∠A，由于∠A+∠B=90°，可得OD⊥AB，即可得出AB是⊙O的切线；

（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．

（1）证明：连接OD，

∵OD=OC，

∴∠BCD=∠ODC，

∴∠DOB=∠BCD +∠ODC=2∠BCD，

而∠A=2∠BCD，

∴∠DOB=∠A，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴OD⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ACB=90°，BE＝OE=OA＝2

∴cos∠DOB=，∴∠DOB=60°，

在Rt△DOB中，OD=2，

∴BD=OD=2，

∴阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE

=×2×2﹣

=2