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【题目】如图,在正方形中,是边上的一动点(不与点重合),连接,点关于直线的对称点为,连接并延长交于点,连接,过点的延长线于点,连接

1)求证:

2)用等式表示线段的数量关系,并证明.

3)若正方形的边长为4,取DH的中点M,请直接写出线段BM长的最小值。

【答案】(1)详见解析;(2),证明详见解析;(3)BM最小值为

【解析】

1)连接.首先证明,再证,即可得证;

2)首先在上取点使得,连接,由(1)中,得出,同理可得,进而得出∠EDG=45°,然后根据

得出DE=HE,又由AD=ABAM=AE,得出DM=EB,再由余角的性质得∠MDE=∠BEH进而判定,得出,在中,利用勾股定理,得,即可得出

3)将正方形看成以点A为原点的坐标系,设AE=x,根据题意,得出,即点M在线段AC上,当BMAC时,BM最小,即可得解.

1)证明:连接

∵点关于直线的对称点为

DA=DFEA=EF

∵DE=DE

SSS

∴∠DFE=90°

∵DA=DFDA=DC

DF=DC

∵DG=DG

HL

2

证明:在上取点使得,连接

同理:

DE=HE

∵AD=ABAM=AE

DM=EB

∵∠MDE+∠AED=∠BEH+∠AED=90°

∠MDE=∠BEH

SAS.

中,

.

3)将正方形看成以点A为原点的坐标系,如图所示,

AE=x

根据题意,得A0,0),D0,4),

是边上的一动点,由(2)得知,则Hx+4x

DH的中点M,由中点坐标公式,得

∴点M在线段AC上,

∴当BMAC时,BM最小,BM最小值为

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