【题目】如图,在正方形中,是边上的一动点(不与点,重合),连接,点关于直线的对称点为,连接并延长交于点,连接,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:;
(2)用等式表示线段与的数量关系,并证明.
(3)若正方形的边长为4,取DH的中点M,请直接写出线段BM长的最小值。
【答案】(1)详见解析;(2),证明详见解析;(3)BM最小值为
【解析】
(1)连接.首先证明,再证≌,即可得证;
(2)首先在上取点使得,连接,由(1)中≌,得出,同理可得,进而得出∠EDG=45°,然后根据
得出DE=HE,又由AD=AB,AM=AE,得出DM=EB,再由余角的性质得∠MDE=∠BEH进而判定≌,得出,在中,利用勾股定理,得,即可得出;
(3)将正方形看成以点A为原点的坐标系,设AE=x,根据题意,得出,即点M在线段AC上,当BM⊥AC时,BM最小,即可得解.
(1)证明:连接.
∵点关于直线的对称点为,
∴DA=DF,EA=EF
又∵DE=DE
∴(SSS)
∴∠DFE=90°
又∵DA=DF,DA=DC
∴DF=DC
又∵DG=DG
∴≌(HL)
∴.
(2).
证明:在上取点使得,连接.
∵≌
∴
同理:
∴
又∵
∴DE=HE
又∵AD=AB,AM=AE
∴DM=EB
又∵∠MDE+∠AED=∠BEH+∠AED=90°
∴∠MDE=∠BEH
∴≌(SAS).
∴
在中,,.
∴
即.
(3)将正方形看成以点A为原点的坐标系,如图所示,
设AE=x
根据题意,得A(0,0),D(0,4),
是边上的一动点,由(2)得知,则H(x+4,x)
∵DH的中点M,由中点坐标公式,得
∴
∴点M在线段AC上,
∴当BM⊥AC时,BM最小,BM最小值为
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线,与y轴负半轴交于C点,与x轴交于A、B两点,其中B点的坐标为(3,0),且OB=OC.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧),在x轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,E为BC上一点,以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相交于点D,且∠A=2∠DCB,连接CD.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若BE=OE=2,求图中阴影部分的面积(结果保留和根号).
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【题目】如图,边长为2cm的等边△ABC的边BC在直线l上,两条距离为1cm的平行直线a和b垂直于直线l,直线a、b同时向右移动(直线a的起始位置在B点),运动速度为1cm/s,直到直线a到达C点时停止.在a、b向右移动的过程中,记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为S,求S与t的函数关系式.
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【题目】大家知道乌鸦喝水的故事,如图,它看到一个水位较低的瓶子,喝不着水,沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升后,乌鸦喝到了水.从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时,设时间变量为,水位高度变量为,下列图象中最符合故事情景的大致图象是( )
A.B.C.D.
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