【题目】如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线,与y轴负半轴交于C点,与x轴交于A、B两点,其中B点的坐标为(3,0),且OB=OC.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧),在x轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)P点的坐标为
,
的最大值为
;(3)Q(-
,0)或(
,0)或(
,0)或(
,0)或(1,0).
【解析】
试题(1)设抛物线的解析式为,根据已知得到C(0,﹣3),A(﹣1,0),代入得到方程组
,求出方程组的解即可;
(2)过点P作y轴的平行线与AG交于点F,求出点G的坐标(2,﹣3),设直线AG为,代入得到
,求出方程组的解得出直线AG为
,设P(x,
),则F(x,﹣x﹣1),PF
,根据三角形的面积公式求出△APG的面积,化成顶点式即可;
(3)存在.根据MN∥x轴,且M、N在抛物线上,得到M、N关于直线x=1对称,设点M为(m,)且m>1,得到MN=2(m﹣1),当∠QMN=90°,且MN=MQ时,由△MNQ为等腰直角三角形,得到
,求出m的值,得出点M和点Q的坐标;当∠QNM=90°,且MN=NQ时,同理可求点Q的坐标,当∠NQM=90°,且MQ=NQ时,过Q作QE⊥MN于点E,则QE=
MN,根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性,得到点Q的坐标.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为,
由已知得:C(0,﹣3),A(﹣1,0),
∴,解得
,
∴抛物线的解析式为;
(2)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
由,令x=2,则y=-3,∴点G为(2,-3),
设直线AG为,∴
,解得:
,即直线AG为
,
设P(x,),则F(x,-x-1),PF
.
∵,
∴当时,△APG的面积最大,此时P点的坐标为
,
(3)存在.
∵MN∥x轴,且M、N在抛物线上,∴M、N关于直线x=1对称,
设点M为(,
)且
,∴
,
当∠QMN=90°,且MN=MQ时,△MNQ为等腰直角三角形,∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴,
∴,即
或
,
解得,
(舍)或
,
(舍),
∴点M为(,
)或(
,
),∴点Q为(
,0)或(
,0),
当∠QNM=90°,且MN=NQ时,△MNQ为等腰直角三角形,同理可求点Q为(-,0)或(
,0),
当∠NQM=90°,且MQ=NQ时,△MNQ为等腰直角三角形,
过Q作QE⊥MN于点E,则QE=MN,
,
∵方程有解,∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为(1,0),
综上所述,满足存在满足条件的点Q,分别为(-,0)或(
,0)或(
,0)或(
,0)或(1,0).
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【题目】二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的图象是抛物线,定义一种变换,先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′,再将得到的对称抛物线y′向上平移m(m>0)个单位,得到新的抛物线ym,我们称ym叫做二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的m阶变换.
(1)已知:二次函数y=2(x+2)2+1,它的顶点关于原点的对称点为 ,这个抛物线的2阶变换的表达式为 .
(2)若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′=(x﹣1)2+5.
①二次函数M的函数表达式为 .
②若二次函数M的顶点为点A,与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B,在抛物线y6′=(x﹣1)2+5上是否存在点P,使点P与直线AB的距离最短,若存在,求出此时点P的坐标.
(3)抛物线y=﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,该抛物线的m阶变换的顶点为点C.若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值.
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【题目】如图,有两条公路OM,ON相交成30°,沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学,当拖拉机沿ON方向行驶时,距拖拉机中心50米的范围内均会受到噪音影响,已知有两台相距40米的拖拉机正沿ON方向行驶,它们的速度均为10米/秒,则这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间为 ( )
A. 6秒B. 8秒C. 10秒D. 18秒
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【题目】已知:如图△ABC内接于⊙O,OH⊥AC于H,过A点的切线与OC的延长线交于点D,∠B=30°,OH=5.
(1)求⊙O的半径;
(2)求出劣弧AC的长(结果保留π).
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【题目】如图,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,4),它的对称轴是直线x=-1.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在第二象限内抛物线上是否存在一点P,使的面积最大?若存在,求出
的面积最大值;若没有,请说明理由.
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【题目】下列说法不正确的是( )
A.已知线段AB=40cm,点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,则AP的长约为24.72cm
B.各有一个角是100°的等腰三角形相似
C.所有的矩形都相似
D.菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形
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【题目】如图1,抛物线经过点
、
两点,
是其顶点,将抛物线
绕点
旋转
,得到新的抛物线
.
(1)求抛物线的函数解析式及顶点
的坐标;
(2)如图2,直线经过点
,
是抛物线
上的一点,设
点的横坐标为
(
),连接
并延长,交抛物线
于点
,交直线l于点
,
,求
的值;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接、
,在直线
下方的抛物线
上是否存在点
,使得
?若存在,求出点
的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在正方形中,
是边
上的一动点(不与点
,
重合),连接
,点
关于直线
的对称点为
,连接
并延长交
于点
,连接
,过点
作
交
的延长线于点
,连接
.
(1)求证:;
(2)用等式表示线段与
的数量关系,并证明.
(3)若正方形的边长为4,取DH的中点M,请直接写出线段BM长的最小值。
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