【题目】二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的图象是抛物线,定义一种变换,先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′,再将得到的对称抛物线y′向上平移m(m>0)个单位,得到新的抛物线ym,我们称ym叫做二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的m阶变换.
(1)已知:二次函数y=2(x+2)2+1,它的顶点关于原点的对称点为 ,这个抛物线的2阶变换的表达式为 .
(2)若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′=(x﹣1)2+5.
①二次函数M的函数表达式为 .
②若二次函数M的顶点为点A,与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B,在抛物线y6′=(x﹣1)2+5上是否存在点P,使点P与直线AB的距离最短,若存在,求出此时点P的坐标.
(3)抛物线y=﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,该抛物线的m阶变换的顶点为点C.若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值.
【答案】(1)(2,﹣1),y=﹣2(x﹣2)2﹣1;(2)存在,点P(,),(3)8+或8﹣或8或2.
【解析】
(1)原二次函数的顶点为(-2,1),则顶点关于原点的对称点为(2,-1),即可求解;(2)①6阶变换的关系式对应的函数顶点为:(1,-1),则函数M的顶点为:(-1,1),即可求解;②DP =PH=(x2-2x+6-x-2)=(x2-3x+4),即可求解;
(3)点A(-1,4)、点B(0,1),抛物线的m阶变换的函数表达式为:y=3(x-1)2-4+m,故点C(1,m-4),即可求解.
解:(1)原二次函数的顶点为(﹣2,1),则顶点关于原点的对称点为(2,﹣1),
则这个抛物线的2阶变换的表达式:y=﹣2(x﹣2)2﹣1,
故答案为:(2,﹣1),y=﹣2(x﹣2)2﹣1;
(2)①6阶变换的关系式对应的函数顶点为:(1,﹣1),则函数M的顶点为:(﹣1,1),
则其表达式为:y=﹣(x+1)2+1,
故答案为:y=﹣(x+1)2+1;
②存在,理由:
y=﹣(x+1)2+1,令y=0,则x=﹣2或0,
故点B(﹣2,0),而点A(﹣1,1),
将点A、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b得:,解得:,
故直线AB的函数表达式为:y=x+2,
y6′=(x﹣1)2+5=x2﹣2x+6,
如下图,过点P作PD⊥AB交于点D,故点P作y轴的平行线交AB于点H,
∵直线AB的倾斜角为45°,则DP=PH,
设点P(x,x2﹣2x+6),则点H(x,x+2),
DP=PH=(x2﹣2x+6﹣x﹣2)=(x2﹣3x+4),
∵>0,故DP有最小值,此时x=,
故点P(,);
(3)抛物线y=﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,
则点A(﹣1,4)、点B(0,1),
抛物线的m阶变换的函数表达式为:y=3(x﹣1)2﹣4+m,
故点C(1,m﹣4),
则AB2=10,AC2=4+(m﹣8)2,BC2=1+(m﹣5)2,
当AB=AC时,10=4+(m﹣8)2,解得:m=8;
当AB=BC时,同理可得:m=8或2,
故m的值为:8+或8﹣或8或2.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数过点(-2,-3)和点(1,6)
(1)求这个函数的解析式;
(2)当在什么范围内时,函数值随的增大而增大;
(3)求这个函数的图像与轴的交点坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于A、B两点,交y轴交于点C,直线y=-x+5经过点B、C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点D(1,0),点P为对称轴上一动点,连接BP、CP.
①若∠CPB=90°,求点P的坐标;
②点Q为抛物线上一动点,若以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校在开展读书交流活动中,全体师生积极捐书,为了解所捐书籍的种类,对部分书据进行了抽样调查,李老师根据调查数据绘制了如下不完整的统计图,请根据统计图回答下面问题:
(1)本次抽样调查的书有 本;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)本次活动师生共捐书1600本,请估计科普类书籍的本数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在甲乙两个不透明的口袋中,分别有大小、材质完全相同的小球,其中甲口袋中的小球上分别标有数字1,2,3,4,乙口袋中的小球上分别标有数字2,3,4,先从甲袋中任意摸出一个小球,记下数字为m,再从乙袋中摸出一个小球,记下数字为n.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果;
(2)若m,n都是方程x2﹣5x+6=0的解时,则小明获胜;若m,n都不是方程x2﹣5x+6=0的解时,则小利获胜,问他们两人谁获胜的概率大?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某社区决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,当绿化区较长边x为何值时,活动区的面积达到1341m2?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于M、N,连按EN、EF、有以下结论:①AN=EN,②当AE=AF时,=2﹣,③BE+DF=EF,④存在点E、F,使得NF>DF,其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线,与y轴负半轴交于C点,与x轴交于A、B两点,其中B点的坐标为(3,0),且OB=OC.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧),在x轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com