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【题目】二次函数yaxh2+ka0)的图象是抛物线,定义一种变换,先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′,再将得到的对称抛物线y′向上平移mm0)个单位,得到新的抛物线ym,我们称ym叫做二次函数yaxh2+ka0)的m阶变换.

1)已知:二次函数y2x+22+1,它的顶点关于原点的对称点为   ,这个抛物线的2阶变换的表达式为   

2)若二次函数M6阶变换的关系式为y6′=(x12+5

二次函数M的函数表达式为   

若二次函数M的顶点为点A,与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B,在抛物线y6′=(x12+5上是否存在点P,使点P与直线AB的距离最短,若存在,求出此时点P的坐标.

3)抛物线y=﹣3x26x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,该抛物线的m阶变换的顶点为点C.若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值.

【答案】(1)(2,﹣1),y=﹣2x221;(2)存在,点P),(38+882

【解析】

1)原二次函数的顶点为(-21),则顶点关于原点的对称点为(2-1),即可求解;(2)①6阶变换的关系式对应的函数顶点为:(1-1),则函数M的顶点为:(-11),即可求解;②DP =PH=x2-2x+6-x-2=x2-3x+4),即可求解;

3)点A-14)、点B01),抛物线的m阶变换的函数表达式为:y=3x-12-4+m,故点C1m-4),即可求解.

解:(1)原二次函数的顶点为(﹣21),则顶点关于原点的对称点为(2,﹣1),

则这个抛物线的2阶变换的表达式:y=﹣2x221

故答案为:(2,﹣1),y=﹣2x221

2①6阶变换的关系式对应的函数顶点为:(1,﹣1),则函数M的顶点为:(﹣11),

则其表达式为:y=﹣(x+12+1

故答案为:y=﹣(x+12+1

存在,理由:

y=﹣(x+12+1,令y0,则x=﹣20

故点B(﹣20),而点A(﹣11),

将点AB的坐标代入一次函数表达式:ykx+b得:,解得:

故直线AB的函数表达式为:yx+2

y6′=(x12+5x22x+6

如下图,过点PPDAB交于点D,故点Py轴的平行线交AB于点H

∵直线AB的倾斜角为45°,则DPPH

设点Pxx22x+6),则点Hxx+2),

DPPHx22x+6x2)=x23x+4),

0,故DP有最小值,此时x

故点P);

3)抛物线y=﹣3x26x+1的顶点为点A,与y轴交于点B

则点A(﹣14)、点B01),

抛物线的m阶变换的函数表达式为:y3x124+m

故点C1m4),

AB210AC24+m82BC21+m52

ABAC时,104+m82,解得:m8

ABBC时,同理可得:m82

m的值为:8+882

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