【题目】如图,四边形OABC是矩形,A(2,1),B(0,5),点C在第二象限,则点C的坐标是______.
【答案】(﹣2,4)
【解析】
作AM⊥x轴于M,CN⊥y轴于N,则∠AMO=∠BNC=90°,OM=2,AM=1,OB=5,证明△BCN≌△AOM(AAS),得出BN=AM=1,CN=OM=2,得出ON=OB﹣BN=4,即可得出答案.
解:作AM⊥x轴于M,CN⊥y轴于N,如图所示:
则∠AMO=∠BNC=90°,
∴∠AOM+∠OAM=90°,
∵A(2,1),B(0,5),
∴OM=2,AM=1,OB=5,
∵四边形OABC是矩形,
∴BC=AO,∠AOC=90°,BC∥OA,
∴∠CBN=∠AOB,
∵∠AOM+∠AOB=90°,
∴∠CBN=∠AOB=∠OAM,
在△BCN和△AOM中, ,
∴△BCN≌△AOM(AAS),
∴BN=AM=1,CN=OM=2,
∴ON=OB﹣BN=4,
∴点C的坐标是(﹣2,4);
故答案为:(﹣2,4).
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【题目】如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点,连结DE,已知∠B=30°,⊙O的半径为12,弧DE的长度为4π.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若AF=CE,求线段BC的长度.
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【题目】如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求证:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)当线段BE为何值时,线段AM最短,最短是多少?
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【题目】连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥),是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江,是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分,桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接,相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细),拱肋的跨度AB为280米,距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)正中间系杆OC的长度是多少米?是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半?请说明理由.
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【题目】某校喜迎中华人民共和国成立70周年,将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛,需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具.已知毎袋贴纸有50张,毎袋小红旗有20面,贴纸和小红旗需整袋购买,每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元,用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同.
(1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元?
(2)如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张,小红旗1面.设购买国旗图案贴纸袋(为正整数),则购买小红旗多少袋能恰好配套?请用含的代数式表示.
(3)在文具店累计购物超过800元后,超出800元的部分可享受8折优惠.学校按(2)中的配套方案购买,共支付元,求关于的函数关系式.现全校有1200名学生参加演出,需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋?所需总费用多少元?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF、EO,若DE=2,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,△DPQ的面积为 cm2;
(2)在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2?如果能,求出t的值,若不能,请说明理由;
(3)运动过程中,当 A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时,求t的值;
(4)运动过程中,当以Q为圆心,QP为半径的圆,与矩形ABCD的边共有4个交点时,直接写出t的取值范围.
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【题目】二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的图象是抛物线,定义一种变换,先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′,再将得到的对称抛物线y′向上平移m(m>0)个单位,得到新的抛物线ym,我们称ym叫做二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的m阶变换.
(1)已知:二次函数y=2(x+2)2+1,它的顶点关于原点的对称点为 ,这个抛物线的2阶变换的表达式为 .
(2)若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′=(x﹣1)2+5.
①二次函数M的函数表达式为 .
②若二次函数M的顶点为点A,与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B,在抛物线y6′=(x﹣1)2+5上是否存在点P,使点P与直线AB的距离最短,若存在,求出此时点P的坐标.
(3)抛物线y=﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,该抛物线的m阶变换的顶点为点C.若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值.
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