【题目】如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2; (2)当t=2时,MN有最大值4; (3)(0,6),(0,﹣2)或(4,4).
【解析】(1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)本问要点是求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值;
(3)本问要点是明确D点的可能位置有三种情形,如答图2所示,不要遗漏.其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标.
解:(1)∵分别交y轴、x轴于A、B两点,
∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0),
将x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2,
将x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=,
∴抛物线解析式为:y=﹣x2+x+2;
(2)如答图1,设MN交x轴于点E,
则E(t,0),BE=4﹣t.
∵tan∠ABO==,
∴ME=BEtan∠ABO=(4﹣t)×=2﹣t.
又N点在抛物线上,且xN=t,∴yN=﹣t2+t+2,
∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣(2﹣t)=﹣t2+4t,
∴当t=2时,MN有最大值4;
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如答图2所示.
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)
由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2,
从而D为(0,6)或D(0,﹣2),
(ii)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N与D2M的交点,
易得D1N的方程为y=x+6,D2M的方程为y=x﹣2,
由两方程联立解得D为(4,4)
故所求的D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4).
“点睛”本题是二次函数综合题,考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点.难点在于第(3)问,点D的可能位置有三种情况,解答时年容易遗漏而导致失分,作为中考压轴题此题有一定难度.
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【题目】如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A.1∶1∶1
B.1∶2∶3
C.2∶3∶4
D.3∶4∶5
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【题目】图书馆现有200本图书供学生借阅,如果每个学生一次借4本,则剩下的书y(本)和借书学生人数x(人)之间的关系式是________________.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接GB,EF,求证:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.
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【题目】(8分)如图,在10×10的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,以点A为位似中心画四边形AB′C′D′,使它与四边形ABCD位似,且相似比为2.
(1)在图中画出四边形AB′C′D′;
(2)填空:△AC′D′是 三角形.
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