Question

二次函数y=ax²+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点A（0，1），B（1，﹣2）和C（3，﹣2）．

（1）求二次函数表达式；

（2）若m＞n＞2，比较m²﹣4m与n²﹣4n的大小；

（3）将抛物线y=ax²+bx+c平移，平移后图象的顶点为（h，k），若平移后的抛物线与直线y=x﹣1有且只有一个公共点，请用含h的代数式表示k．

Answer 1

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．

【专题】计算题．

【分析】（1）把A、B、C点坐标分别代入y=ax²+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；

（2）先确定抛物线对称轴方程，然后二次函数的性质，当m＞n＞2，m²﹣4m+1＞n²﹣4n+1，整理得到m²﹣4m＞n²﹣4n；

（3）设平移后的抛物线的表达式为y=（x﹣h）²+k，由于直线y=x﹣1与抛物线有且只有一个公共点，则说明方程x﹣1=（x﹣h）²+k有两个相等的实数根，然后把方程整理为一般式后△=0即可得到h与k的关系式．

【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0，1），B（1，﹣2）和C（3，﹣2）．

∴，解得

∴抛物线解析式为y=x²﹣4x+1；

（2）∵y=（x﹣2）²﹣3，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

∵m＞n＞2，

∴m²﹣4m+1＞n²﹣4n+1，

∴m²﹣4m＞n²﹣4n；

（3）设平移后的抛物线的表达式为y=（x﹣h）²+k，

∵直线y=x﹣1与抛物线有且只有一个公共点，

∴方程x﹣1=（x﹣h）²+k有两个相等的实数根．

整理得x²﹣（2h+1）x+h²+k+1=0，

∴△=（2h+1）2﹣4（h²+k+1）=0，

∴k=h﹣．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了抛物线与直线的交点问题．