Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=，则线段CE的最大值为　　　　　　．

　

　

Answer 1

　6.4　．

 

【考点】相似三角形的判定与性质．

【专题】计算题．

【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG=CG，再利用余弦的定义计算出BG=8，则BC=2BG=16，设BD=x，则CD=16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=﹣x²+x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值．

【解答】解：作AG⊥BC于G，如图，

∵AB=AC，

∴BG=CG，

∵∠ADE=∠B=α，

∴cosB=cosα==，

∴BG=×10=8，

∴BC=2BG=16，

设BD=x，则CD=16﹣x，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，

∴∠CDE=∠BAD，

而∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴=，即=，

∴CE=﹣x²+x

=﹣（x﹣8）²+6.4，

当x=8时，CE最大，最大值为6.4．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了二次函数的性质．