Question

如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．

（1）求证：CD为⊙O的切线．

（2）若=，求cos∠DAB．

Answer 1

【考点】切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；

（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∵OC为⊙O半径，

∴CD是⊙O的切线；

 

（2）解：连接BC，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD=∠CAB，

∵=，

∴令CD=3，AD=4，得AC=5，

∴=，

=，

∴BC=，

由勾股定理得AB=，

∴OC=，

∵OC∥AD，

∴=，

∴=，

解得AE=，

∴cos∠DAB===．

【点评】本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．