Question

如图，D是正△ABC的外接圆⊙O上弧AB上一点，给出下列结论：①∠BDC=∠ADC=60°；②AE•BE=CE•ED；③CA²=CE•CD；④CD=BD+AD．其中正确的个数是（　　）

A．4       B．3       C．2       D．1

Answer 1

A【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．

【分析】连接AD，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=60°，由圆周角定理得到∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，于是得到∠BDC=∠ADC=60°，故①正确；根据圆周角定理得到∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，推出△BDE∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得到AE•BE=CE•ED；故②正确；由于∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，得到△ACD∽△ACE，根据相似三角形的性质得到CA²=CE•CD；故③正确；在CD上截取CF=BD，通过△ABD≌△ACF，得到AD=AF，推出△ADF是等边三角形，得到DF=AD，等量代换即可得到结论．

【解答】解：连接AD，∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠ADC=60°，故①正确；

∵∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，

∴△BDE∽△ACE，

∴，

∴AE•BE=CE•ED；故②正确；

∵∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，

∴△ACD∽△ACE，

∴，

∴CA²=CE•CD；故③正确；

在CD上截取CF=BD，

在△ABD与△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF，

∴AD=AF，

∵∠ADC=60°，

∴△ADF是等边三角形，

∴DF=AD，

∵CD=CF+DF，

∴CD=BD+AD．故④正确．

故选A．

【点评】此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．