Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．

（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；

（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝（0≤x＜）；（3）或．

【解析】

（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝求解即可．

（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PMMK求解即可．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝PC构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．

解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10，

当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．

∴tan∠PQM＝＝＝．

（2）如图1中，延长QN交AB于K．

由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝x，AM＝x，KQ＝BQ＝，BK＝BQ＝，MK

∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝，

∵QN＜QK，

∴x＜，

∴x＜，

∴y＝PMMK＝（0≤x＜）．

（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．

∵PD∥BC，EN∥BC，

∴PD∥NE，

∵PE∥DN，

∴四边形PDNE是平行四边形，

∴PE＝DN，

∵DN＝DM，PQ＝MN，

∴PE＝EQ，

∵EG∥PC，

∴CG＝GQ，

∴EG＝PC，

∵四边形EGHN是矩形，

∴NH＝EG＝NQ＝PM＝x，PC＝8﹣x，

∴x＝（8﹣x），

解得x＝．

②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．

∵DH＝PC，

∴8﹣x＝x，

解得x＝，

综上所述，满足条件x的值为或．