Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE的延长线上，且AF=CE=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，AE⊥CF？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出DF∥AC，得出∠AEF=∠EAC，由等腰三角形的性质得出∠AEF=∠F，∠EAC=∠ACE，得出∠AEF=∠F=∠EAC=∠ACE，由AAS证明△AEF≌△EAC，得出EF=AC，即可得出结论；
（2）证明△ACE是等边三角形，得出AC=CE，证出四边形ACEF是菱形，得出对角线互相垂直即可．

解答 （1）证明：∵BC的垂直平分线DE交BC于点D，∠ACB=90°，
∴DF∥AC，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠AEF=∠F，∠EAC=∠ACE，
∴∠AEF=∠F=∠EAC=∠ACE，
在△AEF和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ACE}&{\;}\\{∠AEF=∠EAC}&{\;}\\{AE=EA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△EAC（AAS），
∴EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：当∠B=30°时，AE⊥CF；理由如下：
∵∠B=30°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．