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【题目】已知,如图1,二次函数yax2+2ax3aa≠0)图象的顶点为Cx轴交于AB两点(点A在点B左侧),点CB关于过点A的直线lykx+对称.

1)求AB两点坐标及直线l的解析式;

2)求二次函数解析式;

3)如图2,过点B作直线BDAC交直线lD点,MN分别为直线AC和直线l上的两个动点,连接CNMMMD,求CN+NM+MD的最小值.

【答案】(1) AB的坐标分别为(﹣30)、(10),直线l的表达式为:yx+;(2) 二次函数解析式为:y=﹣x2x+(3)8.

【解析】

1yax2+2ax3a,令y0,则x=﹣13,即可求解;

2)设点C的坐标为(﹣1m),点CB关于过点A的直线lykx+对称得AC2AB2,即可求解;

3)连接BC,则CN+MN的最小值为MB(即:MNB三点共线),作D点关于直线AC的对称点Qy轴于点E,则MB+MD的最小值为BQ(即:BMQ三点共线),则CN+MN+MD的最小值=MB+MD的最小值=BQ,即可求解.

解:(1yax2+2ax3a,令y0,则x=﹣13

即点AB的坐标分别为(﹣30)、(10),

A坐标代入ykx+得:0=﹣3k+,解得:

即直线l的表达式为:①,

同理可得直线AC的表达式为:

直线BD的表达式为:②,

联立①②并解得:x3,在点D的坐标为(32);

2)设点C的坐标为(﹣1m),点CB关于过点A的直线lykx+对称得AC2AB2

即:(﹣3+12+m216,解得:(舍去负值),点C12),

将点C的坐标代入二次函数并解得:

故二次函数解析式为:

3)连接BC,则CN+MN的最小值为MB(即:MNB三点共线),

D点关于直线AC的对称点Qy轴于点E,则MB+MD的最小值为BQ(即:BMQ三点共线),

CN+MN+MD的最小值=MB+MD的最小值=BQ

DQACACBD,∴∠QDB90°

DFx轴交于点F

DFADsinDAF

BC关于直线l对称,即直线l是∠EAF的平分线,

EDFD2

QD4BD4

BQ

CN+NM+MD的最小值为8

练习册系列答案
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平均数

中位数

众数

九⑴班

85

85

九⑵班

80

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测试项目

测试成绩/

笔试

92

90

95

面试

85

95

80

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