Question

14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF=∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE．
（2）如果FM=CM，求证：EM垂直平分DF．

Answer 1

分析 （1）根据AD∥BC，可得∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，由E是AB的中点，可得AB=BE，从而可以证明△ADE≌△BFE；
（2）由△ADE≌△BFE，可得DE与EF相等，点E为DF的中点，再根据∠MDF=∠ADF，AD∥BC，FM=CM，可以得到MF=MD，然后根据等腰三角形三线合一，可以证明结论成立．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE．
在△ADE与△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EBF}\\{∠ADE=∠F}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（AAS）．
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠F．
∵∠MDF=∠ADF，
∴∠MDF=∠F．
∴FM=DM．
∵△ADE≌△BFE，
∴EF=DE．
∴点E为边DF的中点．
∴ME⊥DF．
即EM垂直平分DF．

点评 本题考查三角形的全等、平行线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是正确分析题意，找出所求问题需要的条件．