Question

3．如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB+
∠AOB=60°
（1）求∠AOB的度数；
（2）若AE=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据垂径定理和三角形的外角的性质证明∠DAB=∠AOB，求出∠AOB的度数；
（2）根据直角三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$OB，设⊙O的半径为r，根据勾股定理求出r，根据等边三角形的性质得到答案．

解答 解：（1）连接OC，
∵OA⊥BC，OC=OB，
∴∠AOC=∠AOB，∠ACO=∠ABO，
∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB，∠ACO=∠OAB，
∴∠DAB=∠AOC，
∴∠DAB=∠AOB，又∠DAB+∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°；
（2）∵∠AOB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB，
设⊙O的半径为r，则BE=$\frac{1}{2}$r，OE=r-1，
由勾股定理得，r²=（$\frac{1}{2}$r）²+（r-1）²，
解得r₁=4+2$\sqrt{3}$，r₂=4-2$\sqrt{3}$（舍去）
∵OB=OC，∠BOC=2∠AOB=60°，
∴BC=r=4+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是勾股定理、圆周角定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、理解垂直于弦的直径平分这条弦、等边对等角是解题的关键．