Question

14．已知：如图，M、N分别是?ABCD的对边中点，且AD=2AB，求证：PMQN为矩形．

Answer 1

分析 连接MN．由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD平行且等于BC，而M、N是AD、BC的中点，从而可证DM平行且等于BN，于是可证四边形BNDM是平行四边形，则BM∥DN，同理可证AN∥CM，那么可证四边形PNQM是平行四边形，由于AM平行等于BN，且AB=BN=$\frac{1}{2}$BC，则可知四边形ABNM是菱形，利用菱形的性质，可知AN⊥BM，即∠MPN=90°，那么平行四边形PNQM是矩形．

解答 证明：连接MN，如图所示：
∵ABCD为平行四边形，
∴AD平行且等于BC，
又∵M为AD的中点，N为BC的中点，
∴MD平行且等于BN，
∴BNDM为平行四边形，
∴BM∥ND，
同理AN∥MC，
∴四边形PMQN为平行四边形，
连接MN，
∵AM平行且等于BN，
∴四边形ABNM为平行四边形，
又∵AD=2AB，M为AD中点，
∴BN=AB，
∴四边形ABNM为菱形，
∴AN⊥BM，
∴平行四边形PMQN为矩形．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出AN⊥BM是解决问题的关键．