Question

菱形PQRS的四个顶点分别在矩形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上，已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40，若最简分数

m

n

是矩形ABCD的周长，则m+n=

 

．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：由菱形性质知PR⊥SQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25．设AS=x、AP=y，由对称性知CQ、CR的长分别为x、y，则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，根据矩形ABCD的面积等于8个直角三角形的面积之和，列出关于x、y的方程，解得x、y，即可计算m+n的值．

解答：解：如图，设AS=x、AP=y．
∵四边形PQRS是菱形，
∴PR⊥SQ，且PR与SQ互相平分，
∴图中有8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心．
由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25．由对称性知CQ、CR的长分别为x、y，
则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，
∵矩形面积等于8个直角三角形的面积之和，
∴（20+x）（15+y）=6×

1

2

×20×15+2×

1

2

xy，
化简整理，得3x+4y=120 ①，
又x²+y²=625 ②，
①与②联立，解得x₁=20，x₂=

44

5

，
y₁=15，y₂=

117

5

．
当x=20时，BC=x+BQ=40，这与PR=30不合，
故x=

44

5

，y=

117

5

，
∴矩形周长为2（15+20+x+y）=

672

5

，
即：m+n=672+5=677．
故答案为677．

点评：本题考查了菱形、矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，有一定难度．根据菱形与矩形的性质分别表示出图中8个直角三角形的两条直角边是解题的关键．