Question

【题目】P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，将△ABP逆时针旋转，使得AB与AC重合，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角∠PCQ：∠QPC：∠PQC=________．

Answer 1

【答案】3：4：2

【解析】

将△APB绕A点逆时针旋转60得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ ，可得△AQP是等边三角形，△QCP的三边长分别为PA,PB,PC ，由∠APB+∠BPC+∠CPA=360,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=5:6:7，可得∠APB=100, ∠BPC=120, ∠CPA=140，可得答案.

解:如图,

将△APB绕A点逆时针旋转60得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ,

AQ=AP,∠QAP=60,

△AQP是等边三角形,

PQ=AP,

QC=PB,△QCP的三边长分别为PA,PB,PC,

∠APB+∠BPC+∠CPA=360,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=5:6:7,

∠APB=100, ∠BPC=120, ∠CPA=140，

∠PQC=∠AQC-∠AQP=∠APB-∠AQP=100-60=40，

∠QPC=∠APC-∠APQ=140-60=80,

∠PCQ=180-(40+80)=60,

∠PCQ: ∠QPC: ∠PQC=3:4:2,

故答案为:3:4:2.