Question

【题目】已知二次函数y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m．

(1)当m=2时，求二次函数图象的顶点坐标；

(2)已知抛物线与x轴交于不同的点A、B．

①求m的取值范围；

②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的表达式．

Answer 1

【答案】(1)(，﹣)；(2)①m≠0且m≠；②AB的最大值为15，y=4x2﹣7x﹣11

【解析】

(1)当m=2时，y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=x2﹣3x﹣5，即可求解；

(2)①△＞0且m≠0，即可求解；②y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=(x﹣3m+1)(x+m)，令y=0，则x=3m﹣1或﹣m，即可求解．

(1)当m=2时，y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=x2﹣3x﹣5，

函数的对称轴为直线x=﹣，

当x=时，y=x2﹣3x﹣5=﹣，

故顶点坐标为(，﹣)；

(2)①△=b2﹣4ac=(1﹣2m)2﹣4m(1﹣3m)=(4m﹣1)2＞0，

故4m﹣1≠0，解得：m≠ ；

而y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m为二次函数，故m≠0，

故m的取值范围为：m≠0且m≠；

②y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=(x﹣3m+1)(x+m)，

令y=0，则x=3m﹣1或﹣m，

则AB=|3m﹣1+m|=|4m﹣1|，

∵3≤m≤4，

∴12≤4m﹣1≤15，

故AB的最大值为15，

此时m=4，

当m=4时，y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=4x2﹣7x﹣11．