Question

【题目】问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如 图 1，将：矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 剪开，得到△ABC 和△ACD．并且量得 AB ＝4cm，AC＝8cm．

操作发现：

（1）将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图 2 所示的△AC′D，过点 C 作 AC′的平行线，与 DC'的延长线 交于点 E，则四边形 ACEC′的形状是 ．

（2）创新小组将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 B、 A、D 三点在同一条直线上，得到如图 3 所示的△AC′D，连接 CC'，取 CC′的中 点 F，连接 AF 并延长至点 G，使 FG＝AF，连接 CG、C′G，得到四边形 ACGC′， 发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC 沿着 BD 方向平移，使点 B 与点 A 重合，此时 A 点平移至 A'点，A'C 与 BC′相交于点 H， 如图 4 所示，连接 CC′，试求 tan∠C′CH 的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）见解析；（3）tan∠C′CH＝．

【解析】

（1）根据可以得到,再结合可以得到,而已知可以得到四边形为平行四边形，由于旋转，所以,从而得到四边形为菱形；

（2）根据可以得到四边形为平行四边形，而，所以四边形为菱形,那么只需要再证明一个直角即可，当、、三点共线时:，而根据旋转的性质，,可以得到：

,从而证到四边形为正方形；

（3）结合第二问可以得到,所以要求，就可以分别求出和得长度，由题意可以得到,那么，结合三角函数分别就可以分别求出和；

（1）菱形，理由如下：

由旋转的性质可得：

，即

又

四边形为平行四边形

由旋转的性质可得：

四边形为菱形；

（2）正方形，理由如下：

四边形为平行四边形

又

四边形为菱形

当、、三点共线时:

由旋转的性质得：

四边形为正方形；

（3）在中，AB＝4，AC＝8，

由（2）结合平移知，

在中，

在中，;