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【题目】某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产,已知生产每件产品的成本为40元.在销售过程中发现,年销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件,设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z(万元).

(1)试写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围);

(2)试写出z与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围);

(3)计算销售单价为160元时的年获利,并说明同样的年获利,销售单价还可定为多少元?相应的年销售量分别为多少万件?

(4)公司计划:在第一年按年获利最大确定的销售单价,进行销售;第二年年获利不低于1130万元.请你借助函数的大致图象说明,第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内?

【答案】(1) y=-x+30; (2) z=-x2+34x-3200; (3) 14万件和12万件;(4)见解析.

【解析】

(1)销售单价为x元,用x表示出年销售量和每件产品销售利润;

(2)利用每件产品销售利润×年销售量=年获利列出函数解答;

(3)由题意易得Zx之间的函数关系,当x=160时则可推出x2-340x+28800=0,解得x的值.再分别把x的两个值代入yx的函数关系式即可

(4)利用配方法求得第一年按获利最大的销售单价,求得第二年的年获利函数,画出图象,利用图象解答即可.

(1)依题意知,当销售单价定为x元时,年销售量减少(x-100)万件.

∴y=20-(x-100)=-x+30.

yx之间的函数关系式是:y=-x+30.

(2)由题意,得:z=(30-x)(x-40)-500-1500=-x2+34x-3200.

zx之间的函数关系式是:z=-x2+34x-3200.

(3)x=160时,z=×1602+34×1603200=320,

320=x2+34x3200,

整理,得x2-340x+28800=0,

由根与系数的关系得x=180,即同样的年获利,销售单价还可以定为180元,

(4)z=x2+34x3200= (x170)2310

∴当x=170时,z取最大值,最大值为-310

故第一年的销售单价定为170/件,

∴当z=1130时,即1130=x2+34x1510,

整理得x2-340x+26400=0,

解得:x1=120,x2=220.

函数z=-x2+34x-1510的图象大致如图所示:

由图象可以看出:当120≤x≤220时,z≥1130.

故第二年销售量单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围.

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