Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（2，2）．

（Ⅰ）若点B（4，2），C（3，5），请判断△ABC的形状，并说明理由；

（Ⅱ）已知点M（m，0），N（0，n）（n＜0），若∠MAN＝90°，且mn＝﹣，求m2+n2的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）画出图形即可判断．
（Ⅱ）如图2中，作AD⊥y轴于D，AE⊥OM于E．证明△ADN≌△AEM（ASA），推出DN=EM，可得2-n=m-2，即m+n=4，再利用完全平方公式即可解决问题．

解：（Ⅰ）如图1中，A（2，2），B（4，2），C（3，5），

∴△ABC如图示

观察图形可知CA＝CB，

∴△ABC是等腰三角形．

（Ⅱ）如图2中，作AD⊥y轴于D，AE⊥OM于E．

∵A（2，2），

∴AD＝AE，四边形ADOE是正方形，

∵∠DAE＝∠MAN＝90°，

∴∠DAN＝∠MAE，

∵∠ADN＝∠MEA＝90°，

∴△ADN≌△AEM（ASA），

∴DN＝EM，

∴2﹣n＝m﹣2，

∴m+n＝4，

∴m2+2mn+n2＝16，

∵，

∴．