Question

【题目】若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．

（1）求抛物线C2的解析式．

（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．

（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）u2=﹣x2+2x+3；（2）；（3）M（1，2）或（1，5）.

【解析】

试题分析：（1）先求出C1顶点，再根据它们是“友好抛物线”，可直接得出C2的顶点式，再化成一般式即可；（2）利用函数求最大值，令设A（a，﹣a2+2a+3）．则OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，得到OQ+AQ与a的函数关系式，再利用函数极值求得OQ+AQ的最值；（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．则△BCM≌△MDB′，所以BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．

试题解析： （1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）．∵抛物线C1与C2顶点相同，∴ u2=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3．（2）如图1， 设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．∴AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=．

∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为．（3）如图2，连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，∴BC⊥CM，BC=2．∵∠BMB′=90°，∴∠BMC+∠B′MD=90°．

∵B′D⊥MC，∴∠MB′D+∠B′MD=90°．∴∠MB′D=∠BMC．∵BM=B′M，∴△BCM≌△MDB′．∴BC=MD，CM=B′D．

设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．解得a1=2，a2=5．当a=2时，M的坐标为（1，2），当a=5时，M的坐标为（1，5）．

综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．