【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=﹣2x2+4x+2与C2:u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.
【答案】(1)u2=﹣x2+2x+3;(2);(3)M(1,2)或(1,5).
【解析】
试题分析:(1)先求出C1顶点,再根据它们是“友好抛物线”,可直接得出C2的顶点式,再化成一般式即可;(2)利用函数求最大值,令设A(a,﹣a2+2a+3).则OQ=x,AQ=﹣a2+2a+3,得到OQ+AQ与a的函数关系式,再利用函数极值求得OQ+AQ的最值;(3)连接BC,过点B′作B′D⊥CM,垂足为D.则△BCM≌△MDB′,所以BC=MD,CM=B′D,设点M的坐标为(1,a).表示出点B′的坐标,将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值,从而得到点M的坐标.
试题解析: (1)∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣2(x﹣1)2+4,∴抛物线C1的顶点坐标为(1,4).∵抛物线C1与C2顶点相同,∴ u2=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3,∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3.(2)如图1, 设点A的坐标为(a,﹣a2+2a+3).∴AQ=﹣a2+2a+3,OQ=a,∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=.
∴当a=时,AQ+OQ有最大值,最大值为
.(3)如图2,连接BC,过点B′作B′D⊥CM,垂足为D.
∵B(﹣1,4),C(1,4),抛物线的对称轴为x=1,∴BC⊥CM,BC=2.∵∠BMB′=90°,∴∠BMC+∠B′MD=90°.
∵B′D⊥MC,∴∠MB′D+∠B′MD=90°.∴∠MB′D=∠BMC.∵BM=B′M,∴△BCM≌△MDB′.∴BC=MD,CM=B′D.
设点M的坐标为(1,a).则B′D=CM=4﹣a,MD=CB=2.∴点B′的坐标为(a﹣3,a﹣2).∴﹣(a﹣3)2+2(a﹣3)+3=a﹣2.解得a1=2,a2=5.当a=2时,M的坐标为(1,2),当a=5时,M的坐标为(1,5).
综上所述当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时,B′恰好落在抛物线C2上.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,﹣4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第一象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式;
(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形.
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