【题目】如图,在四边形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合),把△DEF沿着EF对折,点D的对应点是点G.设DE=x,△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y.
(1)求CD的长及∠1的度数;
(2)若点G恰好在BC上,求此时x的值;
(3)求y与x之间的函数关系式,并求x为何值时,y的值最大?最大值是多少?
【答案】
(1)
解:如图1,
过点A作AH⊥BC于点H,
∵在Rt△AHB中,AB=6,∠B=60°,
∴AH=ABsinB=6× =3 ,
∵∠D=∠BCD=90°,
∴四边形AHCD为矩形,
∴CD=AH=3 ,
∵ ,
∴∠CAD=30°,
∵EF∥AC,
∴∠1=∠CAD=30°
(2)
解:若点G恰好在BC上,如图2,
由对折的对称性可知Rt△FGE≌Rt△FDE,
∴GE=DE=x,∠FEG=∠FED=60°,
∴∠GEC=60°,
∵△CEG是直角三角形,
∴∠EGC=30°,
∴在Rt△CEG中,EC= EG= x,
由DE+EC=CD 得 ,
∴x=2
(3)
解:分两种情形:
第一种情形:当 时,如图3,
在Rt△DEF中,tan∠1=tan30°= ,
∴DF=x÷ = x,
∴y=S△EGF=S△EDF= = = ,
∵ >0,对称轴为y轴,
∴当 ,y随x的增大而增大,
∴当x=2 时,y最大值= × =6 ;
第二种情形:当2 <x≤3
设FG,EG分别交BC于点M、N,
(法一)∵DE=x,
∴EC= ,NE=2 ,
∴NG=GE﹣NE= = ,
又∵∠MNG=∠ENC=30°,∠G=90°,
∴MG=NGtan30°= ,
∴ =
∴y=S△EGF﹣S△MNG= =
∵ ,对称轴为直线 ,
∴当2 <x≤3 时,y有最大值,且y随x的增大而增大,
∴当 时, =9 ,
综合两种情形:由于6 <9 ;
∴当 时,y的值最大,y的最大值为9 .
【解析】(1)如图1,作辅助线AH⊥BC,AH的长就是CD的长,根据直角三角形中的特殊三角函数值可以求AH的长,即CD=AH=3 ,在直角△ACD中,求∠CAD=30°,由平行线的同位角相等可以得∠1=∠CAD=30°;(2)如图2,由对折得:Rt△FGE≌Rt△FDE,则GE=DE=x,∠FEG=∠FED=60°,从而求得直角△GEC中,EC= x,根据DE+EC=CD 列式可求得x的值(3)分两种情形:
第一种情形:当 时,如图3,△GEF完全在四边形内部分,重叠部分面积就是△GEF的面积;
第二种情形:当2 <x≤3 时,如图4,重叠部分是△GEF的面积﹣△MNG的面积,所以要根据特殊的三角函数值求MG、NG的长,代入面积公式即可.
再根据两种情形的最大值作对比得出结果.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则下列说法:
①y随x的增大而减小;②b>0;③关于x的方程kx+b=0的解为x=2;④不等式kx+b>0的解集是x>2.
其中说法正确的有_________(把你认为说法正确的序号都填上).
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【题目】阅读下面的材料:
如图①,在△ABC中,试说明∠A+∠B+∠C=180°.
分析:通过画平行线,将∠A、∠B、∠C作等量代换,使各角之和恰为一个平角,依辅助线不同而得多种方法.
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【题目】如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,过点C作EG的垂线CH,垂足为点H,连接BH,BH=8.有下列结论:
①∠CBH=45°;②点H是EG的中点;③EG=4;④DG=2.
其中,正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,CD为⊙O的直径,点B在⊙O上,连接BC、BD,过点B的切线AE与CD的延长线交于点A,OE∥BD,交BC于点F,交AE于点E.
(1)求证:△BEF∽△DBC.;
(2)若⊙O的半径为3,∠C=32°,求BE的长.(精确到0.01)
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【题目】下图是A.B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品情况的统计图:
A学校 B学校
(1)从图中你能否看出哪所学校收到的水粉画作品的数量多?为什么?
(2)已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件,收到的书法作品比B学校的少100件,请问这两所学校收到艺木作品的总数分别是多少件?
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【题目】一个不透明的布袋里装有3个球,其中2个红球,1个白球,它们除颜色外其余都相同.
(1)摸出1个球,记下颜色后放回,并搅匀,再摸出1个球,求两次摸出的球恰好颜色不同的概率(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程);
(2)现再将n个白球放入布袋,搅匀后,使摸出1个球是白球的概率为 ,求n的值.
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【题目】目前,步行已成为人们最喜爱的健身方法之一,通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步,求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步?
【答案】小红每消耗1千卡能量需要行走30步.
【解析】分析:设小红每消耗1千卡能量需要行走x步,则小明每消耗1千卡能量需要行走(x+10)步,根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数结合小明步行12000步与小红步行9000步消耗的能量相同,即可得出关于x的分式方程,解之后经检验即可得出结论.
详解:设小红每消耗1千卡能量需要行走x步,则小明每消耗1千卡能量需要行走(x+10)步,
根据题意,得
,
解得x=30.
经检验:x=30是原方程的解.
答:小红每消耗1千卡能量需要行走30步.
点睛:本题考查了分式方程的应用,根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数列出关于x的分式方程是解题的关键.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:四边形ADCF是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF为正方形,请你添加适当的条件并证明你的结论.
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