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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合),把△DEF沿着EF对折,点D的对应点是点G.设DE=x,△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y.

(1)求CD的长及∠1的度数;
(2)若点G恰好在BC上,求此时x的值;
(3)求y与x之间的函数关系式,并求x为何值时,y的值最大?最大值是多少?

【答案】
(1)

解:如图1,

过点A作AH⊥BC于点H,

∵在Rt△AHB中,AB=6,∠B=60°,

∴AH=ABsinB=6× =3

∵∠D=∠BCD=90°,

∴四边形AHCD为矩形,

∴CD=AH=3

∴∠CAD=30°,

∵EF∥AC,

∴∠1=∠CAD=30°


(2)

解:若点G恰好在BC上,如图2,

由对折的对称性可知Rt△FGE≌Rt△FDE,

∴GE=DE=x,∠FEG=∠FED=60°,

∴∠GEC=60°,

∵△CEG是直角三角形,

∴∠EGC=30°,

∴在Rt△CEG中,EC= EG= x,

由DE+EC=CD 得

∴x=2


(3)

解:分两种情形:

第一种情形:当 时,如图3,

在Rt△DEF中,tan∠1=tan30°=

∴DF=x÷ = x,

∴y=SEGF=SEDF= = =

>0,对称轴为y轴,

∴当 ,y随x的增大而增大,

∴当x=2 时,y最大值= × =6

第二种情形:当2 <x≤3 时,如图4,

设FG,EG分别交BC于点M、N,

(法一)∵DE=x,

∴EC= ,NE=2

∴NG=GE﹣NE= =

又∵∠MNG=∠ENC=30°,∠G=90°,

∴MG=NGtan30°=

=

∴y=SEGF﹣SMNG= =

,对称轴为直线

∴当2 <x≤3 时,y有最大值,且y随x的增大而增大,

∴当 时, =9

综合两种情形:由于6 <9

∴当 时,y的值最大,y的最大值为9


【解析】(1)如图1,作辅助线AH⊥BC,AH的长就是CD的长,根据直角三角形中的特殊三角函数值可以求AH的长,即CD=AH=3 ,在直角△ACD中,求∠CAD=30°,由平行线的同位角相等可以得∠1=∠CAD=30°;(2)如图2,由对折得:Rt△FGE≌Rt△FDE,则GE=DE=x,∠FEG=∠FED=60°,从而求得直角△GEC中,EC= x,根据DE+EC=CD 列式可求得x的值(3)分两种情形:
第一种情形:当 时,如图3,△GEF完全在四边形内部分,重叠部分面积就是△GEF的面积;
第二种情形:当2 <x≤3 时,如图4,重叠部分是△GEF的面积﹣△MNG的面积,所以要根据特殊的三角函数值求MG、NG的长,代入面积公式即可.
再根据两种情形的最大值作对比得出结果.

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①yx的增大而减小;②b>0;③关于x的方程kx+b=0的解为x=2;④不等式kx+b>0的解集是x>2.

其中说法正确的有_________(把你认为说法正确的序号都填上).

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其中,正确结论的个数是(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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A. π
B. π
C.π
D. π

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1从图中你能否看出哪所学校收到的水粉画作品的数量多?为什么?

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详解:设小红每消耗1千卡能量需要行走x步,则小明每消耗1千卡能量需要行走(x+10)步,
根据题意,得


解得x=30.
经检验:x=30是原方程的解.
答:小红每消耗1千卡能量需要行走30步.

点睛:本题考查了分式方程的应用,根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数列出关于x的分式方程是解题的关键.

型】解答
束】
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