Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当AE=6，sin∠CFD=$\frac{3}{5}$时，求EB的长．

Answer 1

分析 （1）先证明OD∥AB，得出∠ODF=∠AEF，再由切线的性质得出∠ODF=90°，证出∠AEF=90°，即可得出结论；
（2）设OA=OD=OC=r，先由三角函数求出AF，再证明△ODF∽△AEF，得出对应边成比例求出半径，得出AB，即可求出EB．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∴∠ODF=∠AEF，
∵EF与⊙O相切，
∴OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∴∠AEF=∠ODF=90°，
∴EF⊥AB；
（2）解：设OA=OD=OC=r，
由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF，
在Rt△AEF中，sin∠CFD=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{3}{5}$，AE=6，
∴AF=10，
∵OD∥AB，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{OF}{AF}=\frac{OD}{AE}$，
∴$\frac{10-r}{10}=\frac{r}{6}$，
解得r=$\frac{15}{4}$，
∴AB=AC=2r=$\frac{15}{2}$，
∴EB=AB-AE=$\frac{15}{2}$-6=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形；熟练掌握切线的性质，并能进行有关推理计算是解决问题的关键．