Question

7．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；

（2）解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×12=6，
∵BE=DE，
∴BH=DH=$\frac{1}{2}$BD=6，
∴BE=$\frac{BH}{cos30°}$=$4\sqrt{3}$．
∴DE=BE=$4\sqrt{3}$，
∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=$24\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．