Question

【题目】如图，AM∥BC，D，E分别为AC，BC的中点，射线ED交AM于点F，连接AE，CF。

(1)求证：四边形ABEF是平行四边形；

(2)当AB=AC时，求证：四边形AECF时矩形；

(3)当∠BAC=90°时，判断四边形AECF的形状，(只写结论，不必证明)。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AECF是菱形

【解析】

(1)利用三角形的中位线定理得出AB∥EF,再由AM∥BC可得出结论;(2)易证ΔADF≌ΔCDE，得出DE=DF，推出四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结果;(3)利用四边相等的四边形是菱形解答即可.

(1)证明：∵D，E分别为AC，BC的中点, ∴AB∥EF,∵AB∥EF，AM∥BC

∴四边形ABEF是平行四边形

(2)证明：∵AM∥BC

∴∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠CEF

∵AD=DC

∴ΔADF≌ΔCDE

∴DE=DF

∴四边形AECF是平行四边形

又∵四边形ABEF是平行四边形

∴AB=EF

∵AB=AC

∴AC=EF

∴平行四边形AECF是矩形

(3)当∠BAC=90°时，四边形AECF是菱形。

理由: ∵∠BAC=90°,BE=CE, ∴AE=BE=EC, ∵四边形ABEF是平行四边形, 四边形AECF是平行四边形, ∴AF=BE,AE=FC, ∴AE=EC=FC=AF, ∴四边形AECF是菱形.