Question

【题目】已知：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE＝BF＝CG＝DH，

（1）四边形EFGH是正方形吗？为什么？

（2）若正方形ABCD的边长为4cm，且AE＝BF＝CG＝DH＝3cm，请求出四边形EFGH的面积．

Answer 1

【答案】（1）是正方形，理由见解析；（2）10.

【解析】

（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGF是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；

（2）根据勾股定理求得正方形的边长，然后即可求得面积.

解：（1）四边形EFGH是正方形；

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA

∵AE=BF=CG=DH

∴AH=BE=CF=DG

在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）

∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE

∴四边形EFGH是菱形

∵∠BEF+∠BFE=90°

∴∠BEF+∠AEH=90°

∴∠HEF=90°

∴四边形EFGH是正方形；

（2）∵正方形ABCD的边长为4cm,且AE=BF=CG=DH=1cm,

∴AE=BF=CG=DH=3

∴正方形EFGH的面积=.