Question

【题目】如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为

（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断线段与满足的关系，并说明理由；

（2）如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其它条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PC=PQ且PC⊥PQ，证明见解析；（2）存在，①x=2，t=1，②x=3，t=2，详情见解析；

【解析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，可得PC=PQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出PC⊥PQ；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可；

证明：（1）PC=PQ且PC⊥PQ；理由如下：

∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴∠A=∠B=90°，

当时，AP=BQ=2，

∴BP=AB-AP=8-2=6，

∴BP=AC=6，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ，

∴PC=PQ，

∴∠C=∠QPB，

∵∠APC+∠C=90°，

∴∠APC+∠QPB=90°，

即PC=PQ且PC⊥PQ；

（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，

①若△ACP≌△BPQ，

则AC=BP，AP=BQ，

可得：6=8-2t，2t=xt，

解得：x=2，t=1；

②若△ACP≌△BQP，

则AC=BQ，AP=BP，

可得：6=xt，2t=8-2t，

解得：x=3，t=2.