Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点和与轴交于点动点沿的边以每秒个单位长度的速度由起点向终点运动，过点作轴的垂线，交的另一边于点将沿折叠，使点落在点处，设点的运动时间为秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）N为抛物线上的点(点不与点重合)且满足直接写出点的坐标；

（3）是否存在某一时刻，使的面积最大，若存在，求出的值和最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（-5，3）或（，-3）或（，-3）；（3）存在，时，有最大值为．

【解析】

（1）把A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+3，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到结论；

（2）由抛物线解析式求出C（0，3），根据同底等高的两个三角形面积相等，可知N点纵坐标的绝对值等于3，将y=±3分别代入二次函数解析式，求出x的值，进而得到N点的坐标；

（3）由于点D在y轴的右侧时，过点作轴的垂线，无法与 的另一边相交，所以点D在y轴左侧，根据题意求出直线AC的解析式及E，D，F的坐标，然后根据三角形面积求得与t的函数关系式，然后利用二次函数的性质求最值即可．

解：（1）把A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+3中，得

，解得 ，

∴抛物线的解析式为：，

（2）∵抛物线与y轴交于点C，

∴C（0，3）．

∵N为抛物线上的点(点不与点重合)且S△NAB=S△ABC，

∴设N（x，y），则|y|=3．

把y=3代入，得，解得x=0或-5，

x=0时N与C点重合，舍去，

∴N（-5，3）；

把y=-3代入，得，解得

∴N（，-3）或（，-3）．

综上所述，所求N点的坐标为（-5，3）或（，-3）或（，-3）；

（3）存在．

由题意可知，∵过点作轴的垂线，交的另一边于点

∴点D必在y轴的左侧．

∵AD=2t，

∴由折叠性质可知DF=AD=2t，

∴OF=3-4t，

∴D（2t-3，0），

∵设直线AC的解析式为：，将A（-3，0）和C（0，3）代入解析式得 ，解得

∴直线AC的解析式为：

∴E（2t-3，2t）．

∴

∵-4＜0

时，有最大值为．